Question

已知数列满足， ．

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）猜测与的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据等比数列定义，计算与的比值为非零常数即可，由条件可得，再说明每一项不为零即得结论，（2）先比较的大小 再归纳，最后用数学归纳法证明.在证明时，利用分析法及归纳假设转化为证明，即证.

试题解析：（1）∵， ． ．

∴．

又及传递性知

∴是首项为，公比为3的等比数列．

(2)结论：

法1：由⑴知， ， ， ．

（Ⅰ）时，

（Ⅱ）当时．

∴

所以， ， ．（证毕）

法2：猜测： ，

下用数学归纳法证明

由（Ⅰ）知， ， ， ．

（Ⅰ）时满足， 时

（Ⅱ）假设时

则时只需证

又 ，

∴只需证

即证，即证，显然成立．

∴时命题成立

∴ ， ．（证毕）