Question

已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.

（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；

（2）对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析（2）不存在

【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，且，又，整理得. .

然后根据a的不同取值情况逐一讨论分析（2）假设满足条件的存在，不妨设且，则，又由题有： ，整理可得： ，令，构造函数，则，则时， 恒成立，故在上单调递增从而得出不存在

试题解析：

函数的定义域为，且，又，整理得.

（1）.

1）当时，易知， 时，

故在上单调递增，在上单调递减.

2）当地，令，解得或，则

①当，即时， 在上恒成立，则在上递增.

②当，即时，当时， ；

当时， .

所以： 在及上单调递增： 在上递减.

③当，即时，当时， ；

当时， .

所以： 在及上单调递增： 在上递减.

综上：当时， 在上单调递增，在上单调递减.

当时， 在及上单调递增： 在上单调递减.

当时， 在上递增.

当时， 在及上单调递增； 在上递减.

（2）满足条件的不存在，理由如下:

假设满足条件的存在，不妨设且，则

，又

，又由题有： ，整理可得：

，令，

构造函数，则，则时，

恒成立，故在上单调递增；所以时， ，所

以不可能成立，综上满足条件的不存在.

点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.