Question

已知点是圆心为的圆上的动点，点， 为坐标原点，线段的垂直平分线交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过原点作直线交（1）中的轨迹于点，点在轨迹上，且，点满足，试求四边形的面积的取值范围.

Answer

（1）;（2）.

【解析】【试题分析】（1）借助椭圆的定义分析求解；（2）先借助题设将题设条件进行等价转化，再建立目标函数运用基本不等式进行分析探求：

（1）由于点在线段的垂直平分线上，故，因此，故点轨迹为椭圆，其中， ，因此点的轨迹的方程为.

（2）由，知四边形为平行四边形，故.

（i）当为长轴（或短轴）时，依题意，知点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时，即.

（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设斜率为，则直线的方程为，联立方程，消去，得，故， ，

所以，由，知为等腰三角形， 为的中点，所以，所以直线的方程为，

同理，得，

，

设，则，

而，所以当时， ，又，所以，

所以，

综上所述， .

所以四边形的面积的取值范围为.