Question

已知函数．

（1）若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；

（2）当时，，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意得，直线与曲线恒相切于同一定点，由，得曲线恒过的定点为，再由导数的几何意义可得切线的方程；（2）构造函数，二次求导，再分别对进行讨论：，，，综合取交集即可.

试题解析：（1）因为直线与曲线恒相切于同一定点，

所以曲线必恒过定点，

由，令，得，

故得曲线恒过的定点为.

因为，所以切线的斜率，

故切线的方程为，即.

（2）令，

.

令，

.

①当时，因为，

所以在上单调递增，故，

因为当时，，

所以在上单调递增，故.

从而，当时，恒成立.

②当时，

因为在上单调递增，所以，

故与①同理，可得当时，恒成立.

③当时，在上单调递增，

所以当时，在内取得最小值.

取，

因为，

所以，

前述说明在内，存在唯一的，使得，且当时，，

即在上单调递减，

所以当时，，

所以在上单调递减，

此时存在，使得，不符合题设要求.

综上①②③所述，得的取值范围是.

说明：③也可以按以下方式解答：

当时，在上单调递增，

所以当时，在内取得最小值，

当时，，所以，

故存在，使得，且当时，，

下同前述③的解答.

【点睛】本题主要考查了导数的运用：利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，转化为求函数的最值问题，注意运用导数求单调区间和最值，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题，因此正确的运用导数的性质是解题的关键.