Question

如图，在三棱锥中， 平面， ， ， ， 分别在线段， 上， ， ， 是的中点.

（1）证明： 平面；

（2）若二面角的大小为，求.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，则，从而平面，由中位线定理得，从而平面，进而平面平面，由此能证明平面；（2）推导出， ，从而平面，进而得到是二面角的平面角，由此能求出的正切值．

试题解析：（1）证明：取的中点，连接，则，所以.

又平面，所以平面.

又是的中位线，所以，

从而平面.

又，所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（2）【解析】
由平面知， ，

由， ，知，

故平面.

由（1）知，面，故.

所以是二面角的平面角，

即.

设，则，又易知在中， ，可知，

在中， .

考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及其求法.

【一题多解】本题考查线面平行的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，（2）还可采用以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标.

设， ，则， ， ，则， ，

设是平面的一个法向量，

则即取，

不难得到平面的一个法向量为，

所以，所以，

在中， .