Question

某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为.

(1)若出现故障的机器台数为，求的分布列；

(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？

(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.

Answer

（1）见解析（2）至少要3名工人（3）

【解析】试题分析：（1）首先利用题意判定该随机变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求出每个变量对应的概率，再列表得到分布列；（2）利用互斥事件至少有一个发生的概率公式进行求解；（3）列出随机变量的所有可能取值，利用对应关系得到每个变量的概率，列表得到分布列，进而得到期望值.

试题解析：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为，则事件的概率为，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为，故，

， ,

，

即的分布列为：

（2）设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为，即， ， ， ，这个互斥事件的和事件，则

%,

至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.

（3）设该厂获利为万元，则的所有可能取值为：

，

，

，

即的分布列为：

则，

故该厂获利的均值为.