Question

如图所示，已知椭圆：，其中，，分别为其左，右焦点，点是椭圆上一点，，且．

（1）当，，且时，求的值；

（2）若，试求椭圆离心率的范围．

Answer

(1) ;(2) .

【解析】试题分析: （1）先根据确定点坐标，由可得点坐标（用 表示），最后根据，利用斜率乘积为，列方程求的值；（2）设，由可得点坐标（用 表示），由，得一组关系，再根据点在椭圆上，可解得（用 表示），最后根据取值范围建立之间关系，求得离心率的范围．

试题解析:（1）当，时，椭圆为：，，，

∴，则或，

当时，，，,

直线：，①

直线：，②

联立①②解得，

∴．

同理可得当时，，

综上所述，．

（2）设，，

由，

∴，

∴，

，

由，，

∴，

即，③

又，④

联立③④解得（舍）或（∵），

∴，即，

∴，故．

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.