Question

已知函数（其中为自然对数的底数）

（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；

（2）若函数的图象与函数的图象在内有交点，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）点的切线的方程为，将代入切线方程可得结果；（2）两已知函数有交点等价于函数有零点，利用导数研究其单调性，利用零点存在性定理可得结果.

试题解析：（1）因为函数，所以，

故直线的斜率为，

点的切线的方程为，

因直线过，

所以，

即

解之得，

（2）令，所以，

设，则，

因函数的图象与函数的图象在内有交点，

设为在内的一个零点，

由，

所以在和上不可能单增，也不可能单减，

所以在和上均存在零点，

即在上至少有两个零点，

当时， ， 在上递增， 不可能有两个及以上零点；

当时， ， 在上递减， 不可能有两个及以上零点；

当时，令，得，

∴在上递减，在上递增，

所以

设，则，

令，得，

当时， ， 递增，

当时， ， 递减，

所以，

∴恒成立，

若有两个零点，则有， ， ，

由， ，得，

当，设的两个零点为，则在递增，在递减，在递增，

∴， ，

所以在内有零点，

即函数的图象与函数的图象在内有交点，

综上，实数的取值范围是.

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数零点问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.