Question

已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于平面直角系的坐标原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若轨迹与轴正半轴交于点，直线交轨迹于两点，求面积的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，从而可得结果；（2）把直线，代入椭圆方程消去得： ，根据韦达定理、弦长公式 及点到直线的距离公式、三角形面积公式可将的面积表示为关于 的函数，利用基本不等式求最值即可.

试题解析：（1）由题意知圆的圆心为，半径为4，

所以，

由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，

设椭圆的方程为（），且焦距为 ，则：

，即，

故椭圆的方程为；

（2）把直线，

代入椭圆方程消去得： ，

由得： 或，

因为直线与椭圆相交于两点， ，

则， ，

因为点，直线与轴交于点

的面积

，

当且仅当，即时取等号，

满足

所心面积的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形范围的.