Question

已知椭圆（）的离心率为， 分别是它的左、右焦点，且存在直线，使关于的对称点恰好是圆（）的一条直线的两个端点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与抛物线（）相交于两点，射线， 与椭圆分别相交于点，试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）;（2）

【解析】试题分析：（1）由圆的方程配方得半径为2，由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，又，可得椭圆方程.

（2）由题可得直线是线段的垂直平分线，由方程与，联立可得：

， .又点在以线段为直径的圆内即,

试题解析：（1）将圆的方程配方得： ，所以其圆心为，半径为2，由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，

又，所以，从而，故椭圆的方程为.

（2）因为产于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与，联立得： ，由其判别式得①.

设， ，则， ，

从而， .

因为的坐标为，

所以， ，

注意到与同向， 与同向，所以

点在以线段为直径的圆内，所以

即

代入整理得②

当且仅当即时，总存在，使②成立.

又当时，由韦达定理知方程的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①.

故存在数集，当且仅当时，总存在使点在以线段为直径的圆内.

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及点在以线段为直径的圆内,坐标化求解即可.