Question

已知圆，直线:x=6，圆与轴相交于点（如图），点P(-1,2)是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．

（1）若过点P的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；

（2）设直线的斜率分别为，求证： 为定值.

Answer

（1）或（2）-3

【解析】试题分析：（1）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离，设直线的方程为， 由 解得，又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求，故满足题意的直线应为两条；

（2）方法1：联立 得点 ，问题得证；

方法2：设点的坐标为，分 ， ，两组情况讨论得证

；方法3：设点的坐标为, 则，则由三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点，表示出 ，可证为定值

试题解析：
（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离

设直线的方程为，即

由 解得

又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求

所以直线的方程是或

（2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为

由 解得

从而得点

所以

方法2：设点的坐标为，

若 ，则

所以

当时，同理可得

所以为定值

方法3：设点的坐标为, 则

则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点

点睛：本题考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．