Question

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer

（1）见解析（2）a3

【解析】试题分析：(1) 设法证明平面 内的一条直线 垂直于平面 内的两条相交直线即可；（2）取 中点，连结，由已知条件推导出为二面角的平面角，由此能求出四棱锥的体积

试题解析：(1)证明 连接OE，如图所示．

∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．

又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．

(2)

解 取OC中点F，连接EF．

∵E为PC中点，

∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．

又∵PO⊥面ABCD，

∴EF⊥面ABCD

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．

∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，

∴∠EOF＝30°．

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．

∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．

点睛：本题考查平面与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．