Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值

Answer

【解析】
(1)证明：因为P、Q分别为AE、AB的中点，所以PQ∥EB.

又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD. ……（4分）

(2)如图，连结CQ、DP.

因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB，

又EB∩AB＝B，故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，

【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线性质和平行公理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）先分别利用等腰三角形的“三线合一”和线面垂直的性质证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再借助（1）得到线面垂直，即得到直线与平面所成的角，再利用解直角三角形进行求解．

试题解析：（1）证明：因为分别为的中点，

所以，又，因此，

又平面，

从而平面.

（2）如图，连接，因为为的中点，

且，所以.

因为平面， ，

所以平面，因此，

故平面.

由（1）有，又，

所以四边形为平行四边形，故.

因此平面， 为和平面所成的角，

在中， ，

因此和平面所成角的正弦值为.

考点：1.线面平行的判定定理；2.直线与平面所成的角．

【易错点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面所成角的求法，属于中档题；在证明直线与平面平行时，首先要利用平面几何知识证得线线平行（三角形的中位线、平行四边形的对边，梯形的两底边、平行公理等），再证明线面平行，易错之处是：线面平行判定定理的条件考虑不全（尤其是直线在平面外）导致失分.