Question

设函数

（1）试证明在上为单调递减函数；

（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围。

Answer

（1）见解析（2） 或

【解析】试题分析：（1）设，作差 ，利用单调性的定义证明即可；

（2）先确定函数g（x）的单调性，再结合图象，将问题等价为 或 最后解不等式．

试题解析：（1）设，则

即

所以在上的单调递减函数

（2）因是上的单调递减函数

所以在区间上是单调递增函数

所以，当时，的值域是，即

由在区间上没有零点得 或

所以 或

点睛：本题主要考查了函数及复合函数的单调性的应用，以及函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．