Question

如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；

（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据左右顶点分别是及离心率为，可求得的值，可得椭圆方程为，直线的方程为，由，求出点的坐标，进而可得结果；（2）由（1）知，，解关于的不等式可得结果.

试题解析：（1）由已知易得：，，椭圆方程为，

设直线的方程为，由，

整理得：，

解得：，，则点的坐标是，

故直线的斜率为，由于直线的斜率为，

所以，所以.

（2）由（1）知，，

，所以，

整理得：，，所以.

【方法点睛】范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围，（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.