Question

已知数列中， ，其前项和满足，其中.

（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；

（2）设为数列的前项和，求；

（3）设，试确定实数的值，使得对任意的，都有成立.

Answer

（1）;（2） ;（3） .

【解析】【试题分析】（1）运用等差数列的定义分析探求；（2）运用错位相减法求解；（3）依据题设条件中的不等式成立，运用分类整合的思想分析求【解析】

（1）

∴

∴从开始为等差数列，公差为

又

∴为等差

（2）

∴

∴

（3）

①当为偶数

∴

∴

②当为奇数

∴

∴

∴

∴ 。

点睛：数列是高中数学的重要知识点与重要内容，也是高考重点考查的考点与内容之一。这类问题的设置旨在考查运算求解能力、推理论证能力及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力。求解本题的第一问时，充分运用题设条件及等差数列的定义建立等量关系，从而使得问题获解；解答第二问时，巧妙运用错位相减法求和进行求解；解答第三问时，借助分类整合思想分析探求，最终使得问题获解。