Question

已知函数．

(1)若函数在处取得极值，求实数的值；

(2)若函数)在区间上为增函数，求实数的取值范围；   

(3)若当时，方程有实数根，求实数的最大值．

Answer

(1) ;(2) ;(3)0.

【解析】试题分析：（1）函数在某一点处取得极值即该函数的导函数在该点的函数值为零；

（2）在上为增函数， 在上恒成立，建立关于的不等式，分类讨论求解即可；

（3)方程可转化为在上有解，然后对的值域进行讨论，求出 的取值范围即可.

试题解析： (1) ，

因为函数在处取得极值，所以，即，解得，且经检验成立.

(2)因为函数在区间上为增函数，

所以对恒成立．

讨论：

当时， 对上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．

当时， ，所以，且对上恒成立，

令，其对称轴方程为，又因为，所以，所以要使

对上恒成立，只要即可，即，所以.

又因为，所以.

综上，实数的取值范围为.

(3)当时，方程可化为.

所以在区间上有解.

引入，令，

则，

所以当时， ，从而函数在上为增函数；

当时， ，从而函数在上为减函数，

因此.又，所以当时， ．

又，所以，因此当时， 取得最大0.