Question

已知是数列的前项和，且满足，等差数列的前项和为,且， .

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，问是否存在互不相等的正整数， ， 使得， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列？若存在，求出， ， ；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（I）利用可求得数为等比数列，公比为，由此求得数列的通项公式.利用基本元的思想将转化为的方程组，解出，由此求得数列的通项公式.（II）由（I）求得数列的表达式.先假设存在，利用和列方程组，求得，化简后得到，这与矛盾，故不存在这样的数.

试题解析：

（Ⅰ）由 令可知，

当时，有，两式相减得，

∴ ，

∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列，∴.

设等差数列的公差为，依题意得， ，解得，

∴.

（Ⅱ）由（1）可知，假设存在互不相等的正整数， ， ，使得， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列.则，即

由， ， 成等差数列，得所以.所以由得.即，又所以, 即，即即. 这与矛盾,所以，不存在满足条件的正整数， ， ，使得， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列.

点睛：本题主要考查数列求通项公式的方法.考查存在性问题判断方法.数列的前项和和通项的关系： ，已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．