Question

已知渡船在静水中速度的大小为,河水流速的大小为.如图渡船船头

方向与水流方向成夹角,且河面垂直宽度为.

（Ⅰ）求渡船的实际速度与水流速度的夹角；

（Ⅱ）求渡船过河所需要的时间.[提示： ]

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】试题分析：（I）以为原点建立平面直角坐标系，根据两个速度的大小和夹角，可求得两个速度对应的坐标，利用向量的加法坐标匀速，可得和速度的坐标，由此求和和速度的大小和角度.（II）由（I）结论可求得垂直对岸方向上的速度大小，利用路程除以速度可得时间.

试题解析：

方法一:(向量坐标法)

以为坐标原点， 所在直线为轴建立平面直角坐标系

由条件,,

知，

由，即

所以

所以，

即所以渡船的实际速度与水流速度的夹角;

（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度为

所以渡船过河所需要的时间 .

方法二:(正、余弦定理)

（Ⅰ）如图所示， ，设渡船的合速度，则

由条件,

,

根据向量的平行四边形法则有： ,,

在中, 由余弦定理得

在中, 由正弦定理得,得

所以渡船的实际速度与水流速度的夹角;

（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走过路程为

所以渡船过河所需要的时间 .