Question

已知平行四边形中, ， ,对角线交于点， 上一点满足， 为上任意一点.

（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）若，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（I）将转化为，代入，可得.（II）利用，可求得，由此求得，令，由（I）得，解得.设，由此求得的表达式，利用二次函数配方法可求得最小值.

试题解析：

（Ⅰ）由平行四边形知，

∴，

∵

∴

而， ， ，

∴

（Ⅱ）方法一：若，∴

∴， ，

设，由（Ⅰ），

得，即

再设， ，∴

显然，当时， 有最小值为．

方法二（坐标法）：若，∴

∴， ，又，

如图建立平面直角坐标系：则, , ，

，设,得

又设， ， ，得，

由（Ⅰ），得

∴

显然，当时， 有最小值为．

点睛：本题主要考查向量的线性运算，考查向量的坐标运算和数量积的求解，考查化归与转化的数学思想方法. 有关向量运算的小题，往往都化成同起点的向量来进行，求解数量积的取值范围，着重考查了平面向量平行、二次函数配方法的化简、向量的线性运算和数量积，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.