Question

已知椭圆： ，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，与有相同的离心率，且过椭圆的长轴端点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，若，求直线的方程.

Answer

【考点定位】本题主要考察曲线与方程、椭圆的标准方程，直线与曲线、直线与直线，圆锥曲线的综合问题.掌握通性通法是关键

【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，由于已知焦点在上，而且它过点，因此可设方程为，由离心率求得即可；（2）本题实质是直线与椭圆相交问题，由已知知直线的斜率存在，因此设其方程为，同时设，把分别代入两椭圆方程得， ，由，得，由此可求得值．

试题解析：（1）由的方程可得．

依题意可设椭圆的方程为，由已知的离心率为，

则有，解得： ．

故椭圆的方程为．

（2）设A，B两点的坐标分别为， ，由及（1）知，

O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为．

将代入中，解得．

将代入中，解得： ．

又由，得，即，解得．

故直线AB的方程为或．

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．

【名师点睛】1．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m、n即可．

2．研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．最基本的方法是解方程组（当然这要求方程组的解易于求得，解的形式比较简单）．