Question

如图，四边形为矩形， 平面， .

（1）求证： ；

（2）若直线平面，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（3）若， ，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析;（2）见解析;（3）.

【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到.在转化过程中注意利用平几知识.（2）实质判断平面与平面之间关系，由线线平行可得线面平行，再由线面平行可得面面平行，（3）求三棱锥体积，关键确定高线，而寻找高的方法，一是利用等体积法进行转换，二是利用线面垂直.

试题解析：（1）因为底面， ，

所以底面，所以，

又因为底面为矩形，所以，又因为，所以平面，

所以.

（2）若直线平面，则直线平面，证明如下：

因为，且平面， 平面，所以平面.

在矩形中， ，且平面， 平面，所以平面.

又因为，所以平面平面.

又因为直线平面，所以直线平面.（3）易知，三棱锥的体积等于三棱锥的体积.

由（2）可知， 平面，又因为，所以平面

易知， 平面，所以点到平面的距离等于的长.

因为， ，所以

所以三棱锥的体积.