Question

在如图所示的五面体中，面为直角梯形， ，平面平面， ， 是边长为2的正三角形．

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，根据条件证明出和即可；

（2）分别以直线为轴和轴， 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.

试题解析：

（1）取的中点，连接，依题意易知，

平面平面平面 .

又 ，所以平面，所以.

在和中， .

因为， 平面，所以平面.

（2）分别以直线为轴和轴， 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

依题意有： ， ， ，

设平面的一个法向量，由，得，

由，得，令，可得.

又平面的一个法向量，所以.

所以二面角的余弦值为.

注：用其他方法同样酌情给分.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”