Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；

（Ⅲ）设定义在上的函数在点处的切线方程为： ，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”.若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）-2；（Ⅱ） ；（Ⅲ）参考解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导数，再求导数零点，最后根据导数符号变化规律，确定极小值，（Ⅱ）根据导数几何意义得切线的斜率等于切点处导数值，可得关于的方程，再利用导数研究单调性确定方程解的个数，最后根据估值得方程的解，（Ⅲ）先求切线方程得，再求函数导数，最后根据导函数的两个零点必须相同得“转点”.

试题解析：（Ⅰ）当时， ，

当时；当时；当时.

所以当时， 取到极小值-2.

（Ⅱ），所以切线的斜率，

整理得，显然是这个方程的解，

又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解，故.

（Ⅲ）当时，函数在其图象上一点处的切线方程为，

设，则， ，

若， 在上单调递减，所以当时，此时；

所以在上不存在“转点”.

若时， 在上单调递减，所以当时，此时，所以在上不存在“转点”.

若时，即在上是增函数，

当时， ，

当时， ，即点为“转点”，

故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.