Question

已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数.

（1）求函数的极值；

（2）设，若对任意的恒成立，求实数的最小值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题对 得，研究其单调性，可得当时，取得极大值，无极小值；

（2）由题当时，，由单调性可得在区间上为增函数，根据，构造函数，

由单调性可得在区间上为增函数，不妨设，

则等价于，

即，

故又构造函数，

可知在区间上为减函数，∴在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

∴，设

则，

∵，

∴，则在区间上为减函数，

∴在区间上的最大值，∴，

试题解析：（1）由题得，，

令，得．，

列表如下：

1

大于0

0

小于0

极大值

∴当时，取得极大值，无极小值；

（2）当时，，

∵在区间上恒成立，

∴在区间上为增函数，

设，

∵在区间上恒成立，

∴在区间上为增函数，不妨设，

则等价于，

即，

设，

则在区间上为减函数，

∴在区间上恒成立，

∴在区间上恒成立，

∴，

设，

∵，

∴，则在区间上为减函数，

∴在区间上的最大值，∴，

∴实数的最小值为．

点睛：本题考查导数在研究函数性质时的综合应用，属难题.解题时要认真研究题意，进而构造新函数宾研究其性质以达到解决问题的目的