Question

已知.

（1）若函数在单调递减，求实数的取值范围；

（2）令，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）;（2）.

【解析】

（1）①当时，，显然满足，

②，③，综上：.

（2）存在，使得成立即：

在上，，

因为，令，

则，.

（i）当时，在单调递减，所以，

等价于，所以.

（ii）当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

①当时，即，在单调递增.

由得到，所以.

②当时，时，在单调递减，

由得到，所以.

③当，即时，，最大值则在与中取较大者，作差比较，得到分类讨论标准：

a. 当时，，此时，

由，

得到或，

所以.

b. 当时，，此时，

由，得到，所以此时，

在此类讨论中，.

c. 当时，在单调递增，由，

得到，所以，

综合以上三大类情况，.