Question

已知函数是的导函数，为自然对数的底数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．

Answer

（1）①当时， 在上为减函数；②当时， 的减区间为，增区间为；（2） 证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导，当时，，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2）根据，构造函数，设，，当时，，所以是增函数，，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，

从而得到的增减性，当时，；当时，；当时，，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点．

试题解析：

（1）对函数求导得，

，

①当时，，故在上为减函数；

②当时，解可得，故的减区间为，增区间为；

（2） ，设，则，

易知当时，，

；

（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，

其最小值为，

而此时，且，故恰有两个零点，

∵当时，；当时，；当时，

，

∴在两点分别取到极大值和极小值，且，

由知，

∴，

∵，∴，但当时，，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点．

∴函数只有一个零点．