Question

已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）根据条件，又解方程组即可得出椭圆的方程；（2）涉及直线与圆锥曲线问题时，如果要设直线方程一定要注意分类讨论，①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为；②若直线的斜率存在，设其方程为，联立方程组消元得：，根据直线与圆锥曲线关系，当时，，设，则，由可知或，检验，舍掉，所以直线的方程为．

试题解析：

（1）由题意可知：，又，

∴，所以椭圆的方程为；

（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为，

②若直线的斜率存在，设其方程为，

将直线方程与椭圆方程联立可得

，即，

可得，

设，则，

由可知，

化简得，

解得或，将结果代入验证，舍掉，

此时，直线的方程为，

综上所述，直线的方程为或．

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．