Question

如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证面面垂直，需要找线面垂直，本题中重点分析线段，利用条件底面是菱形可得，通过全等可知，从而，故是平面的垂线，从而得证；（2）由知点到平面的距离为点到平面的距离的两倍，所以，作，证明平面，利用三棱锥体积公式求解；也可证明平面，从而直接求高，计算体积．

试题解析：（1）证明：

连接，

∵四边形为菱形，

∵，

在和中，

，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）解法一：连接，∵面平面，∴，

在平行四边形中，易知，

∴，即，又因为为平面内的两条相交直线，所以平面，所以点到平面的距离为，

∵，

∴三棱锥的体积为．

解法二：∵，∴点到平面的距离为点到平面的距离的两倍，所以，

作，∵平面平面平面，

∴，

∴三棱锥的体积为．