Question

已知函数为偶函数，且函数的图象的两个相邻对称轴间的距离为.

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先用两角和公式对函数的表达式化简得，

利用偶函数的性质即求得，进而求出的表达式，把代入即可；（2）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间.

试题解析：（1），

因为为偶函数，所以对于恒成立，

即，

整理得，

因为，且，所以，

又，故，

所以，

由题意知，，所以，故，

因此，.

（2）由题意知，由，得，

因此的单调递减区间为.

点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题，当涉及周期、单调性、单调区间以及最值等都属于三角函数的性质时，首先都应把它化为三角函数的基本形式即的形式，然后利用三角函数的性质求解.