Question

已知函数，设.

（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明.

Answer

（1），定义域为；（2）奇函数．

【解析】

试题分析：（1）把代入中，即可求得解析式，再代入中即可求得函数的表达式，根据分母不为零，求得函数的定义域；（2）求出，并判断与是否相等或互为相反数，即可求得函数的奇偶性.

试题解析：（1）由，得，

所以，，定义域为；

（2）结论：函数为奇函数．

证明：由（1）知，的定义域为关于原点对称，

并且，，

所以，函数为奇函数．

点睛：本题考查代入法求函数的解析式，以及函数的奇偶性的判定，注意函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，属中档题；常见的求解析式的方法有1、代入法；2、换元法；3、待定系数法；4、构造方程组法；5、配凑法等；该题中主要利用代入法.判断函数的奇偶性主要是通过和是否相等或互为相反数即可.