Question

在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．

(1)若圆分别与x轴、y轴交于点A、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值；

(2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M的方程；

(3)设直线与(2)中所求圆交于点E、F， P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线异侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.

Answer

(1)证明过程见解析；(2) ；（3）直线过定点.

【解析】(1)由题意可设圆M的方程为，

即．令，得；令，得．

(定值)．

(2)由，知．所以，解得．

当时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；

当时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意．

所以，所求圆M的方程为．

(3)设，，，又知，，

所以，．

显然，设，则.

从而直线PE方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，，即；

同理直线PF方程为：，与圆M的方程联立，消去y，可得：，所以，，即.

所以 ；

.

消去参数m整理得． ①

设直线的方程为，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点

第二种情况不合题意(因为在直径的异侧)，舍去.

所以，直线过定点.

点睛：本题的设置旨在考查直线的方程、圆的方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用，同时检测学生运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时，直接借助圆在坐标轴上的截距，结合三角形的面积公式进行分析推证；第二问则运用分类整合思想分别求圆的标准方程；第三问则是借助直线与圆的位置关系建立方程组，通过对方程根的分析推证进行探求，进而使得问题获解.