Question

在平面直角坐标系中，已知点为平面上一动点，到直线的距离为，.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与交于两点，线段的中点为，直线与直线交点的纵坐标为1，求面积的最大值及此时直线的方程.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程,先设动点坐标,再两点间距离公式及点到直线距离公式将条件用坐标表示,化简整理成椭圆标准方程;（Ⅱ）涉及弦中点问题,一般利用点差法求弦中点坐标与直线斜率的关系,本题由于弦中点与原点连线的斜率已知,所以可得弦所在直线斜率 .根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长（用直线在 轴上截距表示），再根据点到直线距离公式可得高（用直线在 轴上截距表示），利用三角形面积公式可得面积关于直线在 轴上截距的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，确定直线在 轴上截距，可得直线方程.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由题意：，

又，即，

化简整理得：

所求曲线的方程为.

（Ⅱ）易得直线的方程：,设.其中

∵在椭圆上，

，所以，

∴设直线的方程为：.

联立：.整理得.

∵直线与椭圆有两个不同的交点且不过原点，

∴，解得：且

由韦达定理:

∴

.

∵点到直线的距离为：.

∴.

当且仅当即时等号成立，满足（*）式

所以面积的最大值为，此时直线的方程为.

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.