Question

如图，四棱锥中，底面为梯形，，且，侧面为等边三角形，侧面为等腰直角三角形，且角为直角，且平面平面.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（锐角）的大小.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般方法为利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，显然需要作出一条垂线. 由侧面为等边三角形，根据平几知识可得取边上中线为证明目标，由于，又由已知面面垂直条件可得平面，再利用平行四边形将其移至平面.（Ⅱ）求二面角大小，一般方法为利用空间向量数量积进行求解，先确定空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角的余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系确定二面角大小.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）作中点，中点，连结.

∵为等边三角形，为中点，

∴

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵为的中位线，

∴，又∵，∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）作的中点，的中点，连结.

∵平面平面，平面平面，平面，，

∴平面，又，

∴平面，∴，

又∵，∴两两垂直

以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则,

,

设平面的法向量，则

,即，

设，则，

则.

由平面可得平面的法向量，

故所求角的余弦值，

故所求二面角大小为.