Question

设抛物线上的点到焦点的距离.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）如图，直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点是.求证：直线恒过一定点.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先由抛物线定义用坐标表示，进而得，再根据点在抛物线上，联立方程组可解出.（Ⅱ）证明直线过定点，一般方法为以算代证，即先求出直线方程，再将直线方程化为点斜式证明过定点.具体方法为先设两点（用纵坐标表示），根据直线与抛物线位置关系得两点坐标关系.再根据两点式写出直线方程，化成点斜式得定点（或令 解得 ）

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由抛物线定义得

又，所以，即

代入，得，由得.

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）设，联立直线与抛物线方程：

，

消去得，

由韦达定理可得.

又由，可得直线的方程为：

，

∵，

∴，

即，

，

∴，

∴直线恒过定点.

点睛：定点问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．