Question

已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．

Answer

（1）（﹣1，1）（2）奇函数（3）（0，1）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，求得x的范围，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；（Ⅲ）由f（x）＞0，可得loga（1+x）＞loga（1-x），分当0＜a＜1和a＞1时两种情况，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集

试题解析：函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．

（1）∵

﹣1＜x＜1

∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）

（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．

∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．

∴f（x）为奇函数

（3）∵f（x）＞0，

∴求解得出：0＜x＜1

故x的取值范围：（0，1）

考点：函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断