Question

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

(Ⅰ)证明：AD⊥D1F;

(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;

(Ⅲ)证明：面AED⊥面A1FD1.

Answer

(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 900(Ⅲ)详见解析

【解析】

试题分析：求解时可采用空间向量的方法，(Ⅰ)中可通过证明直线的方向向量垂直得到直线垂直；(Ⅱ)通过求直线的方向向量的夹角求解异面直线所成角；(Ⅲ)首先求解两平面的法向量，由法向量垂直证明平面垂直

试题解析：以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1…………………………………1分

则有A（1,0，0），E（1，2，），F（0，，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1）……2分

(Ⅰ)，∴AD⊥D1F………………………4分

(Ⅱ)，∴AE⊥D1F

AE与D1F所成的角为900…………………………………………………………………7分

(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)知：AD⊥D1F，AE⊥D1F，又ADAE=A,

所以 D1F⊥平面AED，又D1F在平面A1FD1内，

所以面AED⊥面A1FD1……………………………………………………………………12分

考点：线面垂直的判定与性质；异面直线所成角