Question

已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与该椭圆交于，两点，满足直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得；（2）由

，且，

．由斜率依次成等比可得

且．又

的取值范围为．

试题解析： （1）由题意可设椭圆方程，

则解得所以方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为（），

，，由得，

则，

且，，

故．

因直线，，的斜率依次成等比数列，所以，

即，又，所以，即．

由于直线，的斜率存在，且，得且．

设为点到直线的距离，则，

所以的取值范围为．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆；3、三角形的面积.

【方法点晴】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆、三角形的面积，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 特别是第二小题先由舍而不求法由求得，且，，从而

．再由斜率依次成等比可得

且．又

的取值范围为．