Question

定义在实数集上的函数，．

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由，；（2）化简，原命题等价于，再利用导数工具可．

试题解析：（1）∵，∴，，∴，

∴所求切线方程为，即．

（2）令，

∴，

当时，；当时，；

当时，，要使恒成立，即，

由上知的最大值在或取得，而，，

∵，∴，即．

考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.