Question

已知函数．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当且时，试比较与的大小．

Answer

（1）当时， 在上没有极值点，当时， 在上有一个极值点；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析： （1）,当时， 在上恒成立，函数在单调递减 在上没有极值点；当时， 得得 在处有极小值当时， 在上没有极值点，当时， 在上有一个极值点；（2）由函数在处取得极值 ，

令 在上递减，在上递增

；（3）令，由（2）可知在上单调递减，则在上单调递减当时， ，当时， ．

试题解析：（1），x＞0

当时， 在上恒成立，函数在单调递减，

∴在上没有极值点；

当时， 得得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时， 在上没有极值点，

当时， 在上有一个极值点．

（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，

令，可得在上递减，在上递增，

∴，即．

（3）令，

由（2）可知在上单调递减，则在上单调递减，

∴当时， ，即；

当时， ，∴，当时， ，

∴．

考点：1、函数的极值；2、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查函数的极值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.特别是第三小题关键要利用转化化归思想令，再利用导数工具分类求解.