Question

已知函数和．

（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）依题意，①当时所以 在单调递减不满足题意，②当时，在上单调递减，在上单调递增

；（2）由已知得，令，再利用导数指数可求得即的最大值为．

试题解析： （1）依题意，

①当时，，所以 在单调递减，不满足题意，

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

因为函数在区间不单调，所以，解得，

综上所述，实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由已知得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

令，则．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，所以在单调递增，

∴，∴，即的最大值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

考点：1、函数的单调性；2、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.特别是第二小题利用转化化归思想将命题转化为，再利用导数工具继续求解.