Question

设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数与的图象的交点个数.

Answer

(1) 时，增区间是,无减区间；时，增区间是，减区间是；(2)1个．

【解析】

试题分析：(1)首先求得函数的定义与导函数，然后分、讨论函数的单调区间；(2)首先将问题为函数的零点个数，然后分、、、求导研究函数的单调性，由此求得函数零点个数，从而使问题得解．

试题解析：(1) 函数的定义域为.

当时，，所以 的增区间是，无减区间；

当时，，当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.

综上，当时，函数的增区间是,无减区间；当时，的增区间是，减区间是.

(2)令，问题等价于求函数的零点个数．

①当时，有唯一零点；当时，.

②当时，,当且仅当时取等号，所以为减函数．注意到,所以在内有唯一零点；

③当时，当，或时，时，，所以在和上单调递减，在上单调递增．

注意到，

所以在内有唯一零点；

④当时，，或时，时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增．

注意到，

所以在内有唯一零点.

综上，有唯一零点，即函数与的图象有且仅有一个交点.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点．

【方法点睛】当在区间上是增函数时在上恒成立；同样，当函数在区间上为减函数时在)上恒成立，然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了．