Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）若，是函数的两个零点，设，证明：随着的增大而增大.

Answer

(I) 函数的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值，无极大值；(II)证明见解析.

【解析】

试题分析：(I)借助题设条件运用导数知识求解；(II)依据题设运用导数与函数的单调性之间的关系进行推证.

试题解析：

（Ⅰ）当时，，，

令，则

则，，单调递减.

，，单调递增

所以函数的极小值，无极大值.

（Ⅱ）令，则，因为函数有两个零点，

所以，，可得，，

故

设，则，且解得，.

所以：，①令，，

则.令，得.

当时，.因此，在上单调递增，

故对于任意的，.

由此可得，故在上单调递增.

因此，有①可得随着的增大而增大.

考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的极值与单调区间,求解时运用求导法则分类讨论的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间和极值；第二问则通过转化与化归将问题进行转化,然后构造函数,运用求导法则及转化化归思想分析推证,使得问题获解.