已知椭圆的短轴长为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若分别是椭圆的左、...

已知椭圆的短轴长为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值.

（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把分解为和，所以其面积为，设出直线的方程为，整理方程组表示出，代入上式即可求得，可换元，则，则，研究求单调性即可求得其最大值. 试题解析：（1）由题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分（2）设， ………………6分由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，所以，．．．．．．．．．8分又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即．则．．．．．．．．．．．．．．10分令，则，则，令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，即当时，在上单调递增，因此有，所以，即当，即时，最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意；本题第（2）问解答的关键是根据把的特征，把它分解为和，这样其面积，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值.

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考点分析：

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