已知椭圆的短轴长为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若分别是椭圆的左、...

已知椭圆的短轴长为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆半径的最大值.

（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设的内切圆的半径为，易得的周长为，所以，因此最大，就最大. 把分解为和,从而得到，整理方程组，求出两根和与两根既即得到面积与的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得的最大值，此时. 试题解析：（1）由题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分（2）设，设的内切圆的半径为，因为的周长为，，因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，则．．．．．．．．．．．．10分令，则，．令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，即当时，在上单调递增，因此有，所以，即当时，最大，此时，故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法、转化的思想方法和函数的思想，属于中档题.求椭圆方程要注意的关系，本题解答的关键是第（2）中，把的内切圆半径最大转化为其面积的最大值，通过分解其面积，表示出面积与参数的函数关系，通过换元，最后根据均值不等式求出其最大值.

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考点分析：

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