Question

设，函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若无零点，求实数的取值范围；

（3）若有两个相异零点，，求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：(1)求函数的导数，当时，帖点斜式写出切线方程即可；(2)当时，由可知函数有零点，不符合题意；当时，函数有唯一零点有唯一零点，不符合题意；当时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可；(3) 设的两个相异零点为，，设，则，，两式作差可得，即，由可得即，

，设上式转化为（），构造函数，证即可.

试题解析： （1）函数的定义域为，，

当时，，则切线方程为，即．

（2）①若时，则，是区间上的增函数，

∵，，

∴，函数在区间有唯一零点；

②若，有唯一零点；

③若，令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的极大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数的取值范围是．

（3）设的两个相异零点为，，设，

∵，，∴，，

∴，，

∵，故，故，

即，即，

设上式转化为（），

设，

∴，

∴在上单调递增，

∴，∴，

∴．

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程、不等式.