Question

设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)由题意，，解出 及的值即可；(2)先讨论当不存在时，的值，当当存在时，可设直线方程为，联立方程组，由求出 的范围，由根与系数关系用表示，由向量的坐标运算用表示，即可求出的取值范围.

试题解析： （1）由题意得，且，∴，，

故，

∴椭圆的方程为．

（2）①当不存在时，，，

∴；

②当存在时，设直线方程为，则有整理得，

∴，，（i）

又，（ii）

，从而，（iii）

（iii）代入（ii）中，

∴．

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.向量的坐标运算.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量的坐标运算，属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．