Question

已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．

（1）求圆的方程；

（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．

Answer

（1）；（2）最大值为，最小值为.

【解析】

试题分析：（1）由于圆的半径为，设圆心为，利用弦长为，则圆心到直线的距离为，以此建立方程，求得，所以圆的方程为；（2）设的斜率为的斜率为，由此写出直线的方程，联立求得点的横坐标，，面积的表达式，利用圆与直线相切，求得，同理求得，代入面积的表达式，利用二次函数的图像与性质，求得最小值与最大值.

试题解析：

（1）设圆心，由已知得到的距离为，

∴，又∵在的下方，∴，∴．

故圆的方程为．

（2）由题设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．

由方程组，得点的横坐标为．

∵，

∴，

由于圆与相切，所以，∴；

同理，，∴，

∴，∵，

∴，∴，

∴，

∴的面积的最大值为，最小值．

考点：直线与圆的位置关系，最值问题.

【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查最值问题，考查化归与转化的数学思想方法.第二问由于圆的半径为，设圆心为，只需要求出，利用弦长为，结合点到直线的距离公式可求得的值.第二问设出直线的斜率，写出这两条直线的方程并求得两直线的交点.利用直线与圆相切，求得两个斜率，代入面积公式，利用二次函数图像与性质求得最值.