Question

设是实数，，

（1）若函数为奇函数，求的值；

（2）试用定义证明：对于任意，在上为单调递增函数；

（3）若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求m的值；（2）证明于任意m，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设∈R，，研究的符号，根据单调性的定义判断出结果；（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式对任意x∈R恒成立，转化为即对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件

试题解析：（1）∵，且

∴（注：通过求也同样给分）∴

（2）证明：设，则

∵∴

∴即。 所以在R上为增函数。

（3）因为为奇函数且在R上为增函数，

由得：

∴即对任意恒成立。

令问题等价于对任意恒成立。

令，其对称轴

当即时，，符合题意。

当时，即时，对任意，恒成立，等价于

解得：

综上所述，当时，不等式对任意恒成立

考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质