Question

在平面直角坐标系中，已知点为平面上的动点，且过点作的垂线，垂足为，满足：

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)在轨迹上求一点，使得到直线的距离最短，并求出最短距离.

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)将点的坐标代入化简可得到动点的轨迹的方程；(Ⅱ)由点到直线的距离公式求得M到直线的距离，结合函数性质可求得函数的最小值及取得最小值时的自变量值即M的坐标

试题解析：(Ⅰ)设，

，…………4分，

，，

所求轨迹为： ………6分

(Ⅱ)法一：设，则的距离为

，此时为所求. ……12分

法二：当与直线平行，且与曲线相切时的切点与与直线的距离最短.

设该直线方程为，…… 7分

，解得：

到直线的距离最短，最短距离为.……12分

法三：当与直线平行，且与曲线相切时的切点与与直线的距离最短.

设切点为，轨迹方程可化为：，切线斜率为，

以下方法同法二.

考点：动点轨迹方程及直线与抛物线的综合问题